ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สาระสำคัญ
           ทฤษฎีพีทาโกรัส  กล่าวว่า รูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามของมุมฉากเท่ากับผลบวกของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก

สรุปความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จะได้

ดังนั้นเราจึงนำคุณสมบัติเหล่านั้นไปหาความยาวของด้านต่างๆ ของสามเหลี่ยม

มุมฉากได้ เมื่อทราบความยาวของด้าน 2 ด้าน แล้ว

ตัวอย่างทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ตัวอย่างที่ 1     จากรูป จงหาค่า C

วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 2     จากรูป จงหาค่า a

วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 3  โทรทัศน์เครื่องหนึ่งมีหน้าจอที่วัดตามเส้นทแยงมุมได้ 29 นิ้ว หน้าจอโทรทัศน์สูง 20 นิ้ว จงหาว่าหน้าจอโทรทัศน์ยาวกี่นิ้ว

วิธีทำ   กำหนดให้สามเหลี่ยม ABCเป็นส่วนหนึ่งของโทรทัศน์โดยมี BC เป็นความยาวของหน้าจอโทรทัศน์ จะได้

ดังนั้น หน้าจอโทรทัศน์ยาว 21 นิ้ว

                                 ตอบ                21 นิ้ว


ตัวอย่างที่ 4
เสาธงสูง 24 ฟุต นายแดงโยงเชือกจากยอดเสามายังพื้นตรงจุดที่ห่างจากโคนเสา 10 ฟุต จงหาความยาวของเชือก

วิธีทำ   กำหนดให้สามเหลี่ยม ABC เป็นส่วนหนึ่งของเสาธงโดยมี AB เป็นความยาวของเชือกผูกธง

ดังนั้น เชือกผูกยาว 26 ฟุต

      ตอบ 26 ฟุต.                           

Read More

สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

เนื้อหาบทเรียน : 

ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หมายถึง รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก

จากรูป กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งที่มีมุม C เป็นมุมฉากเรียก AB ว่า ด้านตรงข้ามมุมฉากเรียก AC และ BC ว่า ด้านประกอบมุมฉากในจำนวนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พบว่าด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านที่ยาวที่สุด

โดยทั่วไปนิยมใช้ a แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม A  b แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม B, c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม Cจากรูป c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งมีความยาว 5 หน่วยa,b แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก ซึ่งมีความยาว 3 หน่วย และ 4 หน่วย

เมื่อสร้างจัตุรัสบนด้านทั้งสามดังรูป
1. นับตารางเล็กๆในสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก ด้านที่ a ได้ 9 ตารางหน่วยและ ด้านที่ b ได้ 16 ตารางหน่วย
2. ถ้าย้ายตารางเล็กๆในสี่เหลี่ยมบนด้านประกอบมุมฉาก 2 ด้าน นำมาบรรจุลงใน สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะบรรจุ ได้เต็มพอดี
3. สรุปได้ว่า สามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก มีค่าเท่ากับผลบวกของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก จะเห็นว่า 25 = 9 + 16
4. เขียนความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากและพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากได้ดังนี้

5. ความสัมพันธ์ที่ได้จากข้อ 4 เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส
 เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ได้ดังนี้

    

Read More

พื้นฐานความรู้และผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง

1.อธิบายความสัมพันธ์ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้
2.ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในการให้เหตุผลและแก้ปัญหาได้
3.ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส  และบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสในการให้เหตุผลและแก้ปัญหาได้

จุดประสงค์การเรียนรู้

1.  ให้นักเรียนสามารถเขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
2.  นักเรียนสามารถนำความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไปใช้ในการแก้ปัญหาได้
3.  นักเรียนสามารถเขียนความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้
4.  นักเรียนสามารถหาความยาวด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก  เมื่อกำหนดความยาวของด้านสองด้านให้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้
5.  นักเรียนสามารถเขียนบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้
6.  นักเรียนสามารถนำทฤษฎีบทและบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใช้ในการแก้ปัญหาได้

จุดประสงค์ในการสร้างบทเรียนออนไลน์

1.  เพื่อสนองต่อการเรียนรู้ สำหรับนักเรียนที่มีความสามารถ และสติปัญญาที่แตกต่างกันให้สามารถเรียนรู้ได้เท่าเทียมกัน  ช่วยลดปัญหาความแตกต่างระหว่างบุคคล
2.  นักเรียนสามารถใช้เป็นช่องทางในการศึกษาเข้าถึงเนื้อหา/บทเรียนได้ด้วยตนเอง
3.  นักเรียนสามารถใช้ทบทวนความรู้ในเนื้อหาที่ครูสอนมาแล้วด้วยเทคนิควิธีสอนแบบอื่น
4.  สามารถนำมาใช้ในการเรียนซ่อมเสริมของนักเรียน  ในกรณีที่นักเรียนสอบไม่ผ่านในเนื้อหา  หรืออาจใช้กรณีที่ครูผู้สอน สอนไม่ทันบางเนื้อหาหรือบางจุดประสงค์

ความรู้เดิมหรือความรู้พื้นฐานของผู้เรียน

สำหรับผู้เรียนหรือผู้ที่จะศึกษาบทเรียนนี้  จำเป็นต้องมีความรู้พื้นฐานวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่อง เลขยกกำลัง  รากที่สอง (จำนวนจริง)

วิธีการแก้ไขปัญหา

เมื่อนักเรียนได้ศึกษาบทเรียนนี้แล้วเกิดความไม่เข้าใจ  หรือเกิดปัญหาขึ้น  นักเรียนสามารถไปปรึกษากับบุคคลต่อไปนี้ได้คือ
1. ครูผู้สอน
2. ครูผู้สอนที่เกี่ยวข้องในวิชาคณิตศาสตร์
3. บุคคลที่มีความรู้และความเชี่ยวชาญในเรื่อง  ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

Read More

พีทาโกรัส“บิดาแห่งตัวเลข”

พีทาโกรัส หรือ ปีทาโกรัส (Pythagoras)  เจ้าของทฤษฎีบทพีทาโกรัส “บิดาแห่งตัวเลข” เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เกิดเมื่อ 570 ปีก่อนคริสตกาล ที่เกาะซามอส (Samos) แห่งทะเลเอเจียน (Aegean) ใกล้กับเอเชียไมเนอร์ ปัจจุบันอยู่ในประเทศกรีซ  เป็นบุตรชายของพีทาอิสและเนซาร์คัส เมื่อพีทาโกรัสอายุได้ 16 เขาได้เดินทางไปศึกษาวิชากับนักปราชญ์เอกคนแรกของโลกนามว่า เทลีส (Thales)  แม้ว่าเทลีสจะเป็นผู้ที่มีความรู้กว้างขวางในหลายสาขาวิชา และได้ถ่ายทอดความรู้เหล่านั้นให้กับพีทาโกรัสจนหมดสิ้น แต่พีทาโกรัสก็ยังต้องการศึกษาหาความรู้เพิ่มเติมอีกออกเดินทางไปตามเมืองต่าง ๆ เช่น อาระเบีย เปอร์เซีย อินเดีย และอียิปต์ตามลำดับ  ต่อมา พีทาโกรัสได้ย้ายถิ่นฐานจากซามอสไปที่โครโทน (Croton) ที่อยู่ทางใต้ของอิตาลี ได้ศึกษาเล่าเรียนทางปรัชญาและศาสนา อย่างจริงจัง ต่อมาพีทาโกรัสพร้อมด้วยภรรยา ทีอาโน (Theano)ได้ตั้งสถานศึกษา หรือสมาคม หรือสำนักความคิด ที่คล้ายคลึงกับลัทธิออร์เฟอัสที่มีอยู่ก่อนหน้านั้น  โดยใช้ชื่อว่า สำนักพีทาโกเรียน(Pythagoreanschool) เพื่อศึกษาค้นคว้า ปรัชญา ดาราศาสตร์ และคณิตศาสตร์ รวมถึงเรขาคณิตด้วย โดยมีตราประจำสำนักเป็นรูปดาวห้าแฉก โดยเปิดรับสมาชิก(สาวก) ที่เข้ามาศึกษาทั้งชายและหญิง (เป็นที่สนใจของกลุ่มคนชั้นสูงไม่ว่า พระมหากษัตริย์ ขุนนางราชสำนักและพ่อค้า คหบดีที่มั่งคั่ง ต่างส่งบุตรหลานมาเข้าศึกษา)

พวกพีทาโกเรียนเป็นนักคณิตศาสตร์และนักปราชญ์ที่บุกเบิกเรขาคณิต และมีความเชื่อว่า “คณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานของทุกสิ่งทุกอย่าง ถ้าไม่มีคณิตศาสตร์แล้ว ทุกอย่างก็จะไม่เกิดขึ้น” ข้อเท็จจริงข้อนี้ถือว่าถูกต้องที่สุด เพราะไม่ว่าจะเป็นการก่อสร้าง การคำนวณหาระยะทางหรือแม้กระทั่งการประดิษฐ์เครื่องใช้ ต่างเกี่ยวกับคณิตศาสตร์แทบทั้งสิ้น นอกจากนี้พีทาโกรัสยังแบ่งคณิตศาสตร์ออกเป็น 2 สาขา คือ
         1. เลขคณิต เป็นเรื่องเกี่ยวกับตัวเลข
         2. เรขาคณิต เป็นเรื่องเกี่ยวกับรูปทรงต่าง ๆ เช่น สี่เหลี่ยม วงกลม สามเหลี่ยม และหกเหลี่ยม เป็นต้น
 ซึ่งวิชานี้มีประโยชน์อย่างมากในทางสถาปัตยกรรม และทฤษฎีบทเรขาคณิตที่มีชื่อเสียงที่สุดของพีทาโกรัสก็คือ "ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก"
พีทาโกรัสเป็นนักวิทยาศาสตร์คนแรกที่ตั้งทฤษฎีเกี่ยวกับโลกกลม และหมุนรอบตัวเองรวมถึงดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และดาวเคราะห์ ก็หมุนรอบตัวเองเช่นกัน ซึ่งทฤษฎีนี้ในเวลาต่อมานักดาราศาสตร์อย่างโคเปอร์นิคัส และกาลิเลโอ ได้นำมาพิสูจน์แล้วพบว่าทฤษฎีนี้ถูกต้อง

หลังจากที่พีทาโกรัสได้เสียชีวิตเมื่อประมาณ 507 ก่อนคริสต์ศักราช ที่เมืองเมตาปอนตัม (Metapontum)  ทีอาโนผู้เป็นภรรยาและลูกได้ดูแล สำนักพีทาโกเรียน (Pythagoreanschool) สืบต่อมา


อ้างอิงจาาก https://th.wikipedia.org/wiki/พีทาโกรัส

Read More

การพิสูจน์ทฤษฎีพีทาโกรัส

พีทาโกรัส ได้ชื่อว่าเป็น “บิดาแห่งตัวเลข” ไม่เพียงแต่จะมีความสำคัญต่อคณิตศาสตร์แล้ว เขายังได้สร้างสรรความคิดหลากหลาย ทั้งปรัชญา  ดาราศาสตร์ ทฤษฎีความสัมพันธ์ของโลกที่มีต่อดวงดาวและธรรมชาติ


ทฤษฎีบทพีทาโกรัส กล่าวไว้ว่า
"ผลรวมของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากทั้งสอง จะเท่ากับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก"

สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กำลังสอง ของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก

จากความสัมพันธ์ของด้าน ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เราสามารถใช้หาด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมมุมฉากได้ จากความสัมพันธ์ดังกล่าว ดังนี้

Read More